Descripción
Este curso es un curso avanzado en topología algebraica y está diseñado como continuación natural de un primer curso de topología algebraica. El objetivo fundamental de este curso es el estudio de la teoría de cohomología y la teoría de homotopía inestable. En la teoría de cohomología se le asigna a un espacio X un anillo llamado el anillo de cohomología. Este es un anillo graduado y en cada nivel los grupos de cohomología se pueden construir a partir de los grupos duales de los grupos de homología, con la ventaja adicional que los grupos de homología tienen la una estructura de anillo. En la segunda parte del curso se estudiará la teoría de homotopía inestable. En particular, se estudiarán los grupos de homotopía en altas dimensiones asociados a un espacio topológico. Estas teorías asignan a un espacio topológico X un invariante algebraico que permiten distinguir cuando dos espacios topológicos dados son equivalentes o no. Los estudiantes que culminen con éxito este curso estarán preparados para estudiar temas de investigación actuales en el área de la Topología Algebraica.
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Conceptos Previos
Para poder tener un entendimiento de este curso los siguientes conceptos son necesarios
1. Topología. Los conceptos de espacio topológico, continuidad, compacidad y conexidad de la teoría de Topología.
2. Los conceptos de grupo fundamental y grupos de homología de un primer curso de topología algebraica.
3. Conocimiento básico de álgebra como por ejemplo los conceptos de grupo, anillo, modulo, complejos de cadena y homología.
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Objetivos
Los objetivos principales de este curso son los siguientes.
1. Definir los grupos de cohomología de un espacio topológico.
2. Aprender diferentes técnicas para el cálculo de los grupos de cohomología de espacios topológicos.
3. Definir los grupos de homotopía asociados a espacios topológicos.
4. Determinar la conexión entre los grupos de cohomología y la teoría de homotopía mediante el estudio de los espacios de Eilenberg-Maclane.
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Metodología
Este curso se desarrollará de forma análoga a los otros cursos del programa de posgrado de Matemáticas. Tendremos dos clases semanales. La evaluación será mediante tareas quincenales y dos exámenes parciales.
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INFORMACIÓN IMPORTANTE